AutoSim Pro

Simulateur Ingenieur & Placement de Poles (Transformee de Laplace)

1. Physique & Mathematiques

Le Modele Physique

Une suspension automobile est modelisee par une equation differentielle :

$$m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = u(t)$$

On utilise la Transformee de Laplace pour analyser le systeme dans le domaine complexe ($s = \sigma + j\omega$).

Partie reelle ($\sigma$) : L'amortisseur

Definit la dissipation d'energie ($e^{\sigma t}$).

Dans la vraie vie : C'est le tube rempli d'huile (le piston hydraulique). Pour modifier Sigma, un mecanicien change la viscosite de l'huile ou la taille des trous dans le piston. Une huile tres epaisse (comme du miel) freine tres fort, ce qui rend Sigma tres negatif.

Partie imaginaire ($\omega$) : Le ressort

Definit la frequence d'oscillation ($\cos(\omega t)$).

Dans la vraie vie : C'est le gros ressort en metal en spirale de la roue. Pour modifier Omega, on installe un ressort plus epais, plus raide, ou on allege le poids de la voiture. Un ressort de camion sur une petite voiture fera un Omega tres eleve (vibrations tres rapides).

Instabilite et Resonance

Tant que $\sigma < 0$, l'equation $e^{\sigma t}$ tend vers 0 (l'energie est dissipee).

Energie Infinie ($\sigma > 0$) Si le systeme est mal regle, il injecte plus d'energie qu'il n'en absorbe. L'amplitude augmente de maniere exponentielle ($e^{+\sigma t} \to \infty$) jusqu'a la rupture mecanique. Placez la croix a droite pour observer le crash.

2. Laboratoire de Simulation

Plan de Laplace (s)

STABLE
INSTABLE

Reponse y(t)

Deplacez-vous avec la souris et zoomez a la molette ! Le point indique la position de la voiture.

Pulsation ($\omega_n$) 0.0
Amorti ($\zeta$) 0.00
Depassement 0 %
Temps ($t_{r5\%}$) 0 s

Moteur Physique

Zoomez et deplacez-vous aussi sur la voiture !

3. Le Cahier des Charges

Dans l'industrie, le client impose des contraintes. Comment calculer $\sigma$ et $\omega$ pour y repondre ?

Objectif 1 : Temps de Reponse ($t_{r5\%}$)

Temps necessaire pour que le vehicule arrete de rebondir. Il ne depend que de l'amortisseur $\sigma$.

$$t_{r5\%} \approx \frac{3}{|\sigma|} \quad \implies \quad |\sigma| = \frac{3}{t_{r5\%}}$$
Ex: Le client veut que le systeme se stabilise en 1.5s.
$|\sigma| = 3 / 1.5 = 2 \implies \sigma = -2$.

Objectif 2 : Depassement ($D\%$)

Amplitude du premier rebond. Il depend de $\zeta$ (l'angle du pole).

$$D\% = 100 \times e^{\frac{-\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}$$
Ex: Depassement max de 10% $\implies \zeta \approx 0.59$.
On sait que $\omega = |\sigma| \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}$.
Si $\sigma = -2$, alors $\omega = 2.72$. On place la croix a $(-2, 2.72)$.